im2col方法实现卷积算法

本篇讨论卷积层前项传播过程中的主要计算：卷积算法的实现

卷积计算的输入从二维的矩阵到四维张量，以及卷积核从二维矩阵到四维矩阵都对应不同大小的输出，最后会统一到一个算法里面，这里用一个函数来表示：
$a = conv(x,w)$

$x$ 是输入， $w$ 是卷积核， $a$ 是卷积的结果，即特征图（feature map）。

注：
有的人叫它为 输出特征图。

单通道：

先看看输入和卷积核都是矩阵的情况：

卷积的过程就是，将输入划分成若干个与卷积核相同大小的不同子集，这些子集再分别与卷积核点乘相加：

如上图所示，本例的输入可以划分为4个子集（为什么是4个，这里涉及一个步长的变量stride，后面讨论），将它们各自与卷积核点乘，得到的结果就是输出红框内容。

现在，将上述的过程用公式向量表示，就拿第一个子集矩阵（将其表示为 $x_{(1)}$）来说吧：
$x_{(1)} =\left[ \begin{array}{ccc} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3}\\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3}\\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} \end{array}\right]$

然后将其矩阵按行展开，变成一个行向量：
$x_{(1)} =\left[ \begin{array}{ccc} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} \end{array}\right]$

对这四个子集$x_{(1)} x_{(2)} x_{(3)} x_{(4)}$都进行同样的操作，然后并在一起得到一个矩阵：
$X =\left[ \begin{array}{ccc} x_{(1)}\\ x_{(2)}\\ x_{(3)}\\ x_{(4)} \end{array}\right]$

同样的，再将卷积核如法炮制，只不过这次是展开成列向量：
$W =\left[ \begin{array}{ccc} w_{1,1}\\ w_{1,2}\\ w_{1,3}\\ w_{2,1}\\ w_{2,2}\\ w_{2,3}\\ w_{3,1}\\ w_{3,2}\\ w_{3,3} \end{array}\right]$
但是有人为了节省纸张，将其写成横向转置的形式：
$W =\left[ \begin{array}{ccc} w_{1,1} & w_{1,2} & w_{1,3} & w_{2,1} & w_{2,2} & w_{2,3} & w_{3,1} & w_{3,2} & w_{3,3} \end{array}\right]^T$